3.5 Модифицированное Резерфордовское сечение
Резерфордовское дифференциальное сечение будет еще часто встречаться в разных, но математически похожих формах. Например, уравнение 3.3 пренебрегает так называемым эффектом экранирования электронного облака. Экранирование можно рассматривать как эффект уменьшения положительного потенциала ядра для падающего электрона (хотя общий заряд в электронном облаке всегда положителен). Таким образом, дифференциальное сечение существенно снижается и рассеяние уменьшается. Экранирование важно только тогда, когда пучок электронов проходит далеко от ядра и в этих условиях угол рассеяния будет небольшим (< 3ᵒ). Если мы хотим учесть экранирование, необходимо заменить выражение sin2(θ/2) на [sin2(θ/2)+(θ0/2)2], где θ0 называется экранирующим параметром и задается следующим выражением:
(3.4)(E0 в кэВ).
То, что мы говорим, что параметр экранирования может быть описан конкретным углом рассеяния, θ0. Когда угол рассеяния больше, чем θ0, можно пренебречь электрон-электронным взаимодействием и электрон-ядерное взаимодействие становится преобладающим. Значение θ0 при 100 кэВ всего 2ᵒ для Cu и меньше для легких элементов. Таким образом, при рассеянии больше нескольких градусов, может быть приближенно описано Резерфордовским больше-угловым рассеянием.
Как уже отмечалось выше, до сих пор все уравнения не учитывают релятивистские эффекты, что не всегда является правильным приближением, поскольку релятивистские эффекты имеют большое значение для электронов с энергией более 100 кэВ (что имеет место для большинства исследований в ПЭМ). Эта неточность может быть легко исправлена в соответствии с теорией относительности, чтобы дать более точные сечения с помощью λR – длину волны электрона с учетом релятивистской поправки (см. уравнение 1.7) и a0, боровский радиус рассеивающего атома:
(3.5)где ε0 - диэлектрическая проницаемость. Используя другие константы, перечисленные в таблице 1.1 мы находим a0=0.0529 нм. Конечным результатом добавления экранирования и релятивистских поправок является выражение:
(3.6)Это выражение описывает дифференциальное Резерфордовское сечение с учетом экранирования и релятивистских поправок. Одним очень важным эффектом включения экранирования в эти уравнения является то, что сечение не становятся бесконечными, когда угол рассеяния стремится к нулю, что является важным ограничением всех простых уравнений, которые мы использовали на начальном этапе. Экранированное Резерфордовское сечение является одним из наиболее широко используемых для расчетов в ПЭМ, хотя он имеет ряд конкретных ограничений при самых высоких ускоряющих напряжениях (300-400 кВ) и для более тяжелых элементов (Z> 30), который рассеивают электроны на большие углы. В этих случаях, необходимо использовать другое сечение, например, Мотта.
Таким образом, мы можем проинтегрировать это выражение для получения полного сечения для конкретных угловых диапазонов. Мы можем заменить соответствующие значения для различных констант и интегрировать дифференциальное сечение от θ до π, чтобы получить полное ядерное сечение для электронов, упруго рассеянных на углы >θ:
(3.7)Из уравнения 3.7 видно, что энергия пучка (E0), угол рассеяния (θ), и атомный номер (Z) влияют на вероятность того, что электрон будет рассеиваться на ядрах атомов в образце. Если упростить последнее выражение, предполагая, что θ мал вы должны быть в состоянии видеть некоторые параллели с менее точным уравнением Холла 3.2 для ядерного рассеяния.
Самый лучший способ для обобщения характеристик сечений представить некоторые данные. Рисунок 3.3 показывает изменение в экранированном Резерфордовском сечении (уравнение 3.7) от угла рассеяния для (а) трех различных элементов и (б) двух различных энергий пучка. Как можно видеть для меди, сечение уменьшается на несколько порядков от 10-22 до 10-28 м2 при увеличении угла рассеяния от 0 до 180ᵒ. Как уже было сказано, рассеяние вероятнее, произойдет в прямом (θ
Увеличение Z от углерода до золота может увеличить сечение в сто раз, именно поэтому необходимо иметь пропорционально тонкие образцы для ПЭМ, если вы хотите исследовать материалы с высоким Z. Удвоение энергии электронного пучка может снизить сечение в два-три раза, поэтому электроны с высокой энергией имеют меньше шансов быть рассеянными образцом, чем электроны с более низкой энергией, при прочих равных условиях. Рисунок 3.4 показывает соответствующие длины свободного пробега для упругого рассеяния. Из этого графика видно, что очень мало актов упругого больше углового рассеяния происходит, если толщина образца менее 100 нм. В таких образцах, большинство электронов либо испытает однократное рассеяние или не испытает его вовсе, и мы считаем, что это упрощение является достаточно хорошим приближением к тому, что происходит на самом деле в микроскопе. Это приближение является основной причиной, почему, как мы уже отметили, практически во всех исследованиях ПЭМ применим критерий «чем тоньше, тем лучше».