3.8 Происхождение F(θ)

| Печать |

Так как f(θ) относится к амплитуде рассеянной волны, мы рассмотрим кратко, как она возникает. Приведенный ниже анализ не будет полностью строгим, однако, даст фундаментальные идеи, заложенные в значение f(θ) и его связь с дифференциальным сечением рассеяния.
Чтобы найти полное сечение упругого рассеяния, мы должны интегрировать dσ/dΩ. Необходимо отметить, что эта модель описывает частицы, но также нужно знать о том, как в нее можно ввести волновую природу электронов. Мы можем рассмотреть волновую природу, глядя на рисунок 3.6 (который, тесно связан с рисунками 2.3 и 2.12).

Рисунок 3.5 Изменение атомного фактора рассеяния f(θ) от угла рассеяния θ (рассчитывается по формуле 3.9) показывает, что упругое рассеяние уменьшается с увеличением угла рассеивания от направления падающего луча (θ=0°) и увеличивается с ростом Z

Мы можем описать падающий луч как волну с амплитудой ψ₀ и фазой 2πkr.

ψ=ψ₀e^2πkr

В этом определении фазы, величина k - волновой вектор, а r - расстояние, на которое распространяется волна. Когда плоская падающая волна рассеивается на точечном заряде, возникают рассеянные сферические волны, имеющие различную амплитуду ψ_SC, но сохраняющие одну и ту же фазу, с добавление π/2 по отношению к падающей волне.

(3.11)

В этом уравнении f(θ) является амплитудой, которую мы имели бы, если ψ₀=1, т.е. атомная амплитуда рассеяния.

Рисунок 3.6 Получение рассеянной волны при взаимодействии плоской волны (горизонтальная линия, длина волны λ) с точечным зарядом. Круги представляют собой рассеянные сферические волновые фронты, которые находятся в фазе и сохраняют исходную длину волны λ. Интерференция между плоской и сферической волн показана в виде темных областей. Углы θ и dθ такие же, как на рисунке 2.3.

Таким образом, становится понятно, что нам необходимо знать f(θ) и приемлемая модель является необходимой, для того, чтобы сделать задачу решаемой. До этого момента, наш вывод был довольно строг и, в идеале, модель должна давать различие между нейтральным атомом в металле, ковалентно-связанными атомами и ионами. Величина f(θ), в принципе, всегда может быть рассчитана из уравнения Шредингера. На практике, однако, мы обычно используем более простое приближение - если мы запишем выражение для процесса рассеяния как показано на рисунке 3.6, то мы будем иметь:

(3.12)

Следует отметить, что обычно, для вторичных волн Гюйгенса, наблюдается 90° фазовый сдвиг (включение «i» во второе слагаемое) между падающим и рассеянным лучами, а во-вторых, что f(θ) может быть выражено как:

(3.13)

Которое означает, что фаза η(θ), также зависит от угла рассеяния θ.
Отступление: при написании уравнения 3.12, были введены два волновых параметры: вектор k_I для плоской падающей волны и скаляр k для рассеянных сферических волн. Написав 2π отдельно, как часть фазы, мы неявно определили k равной 1/λ. Многие учебники физики включает 2π в k, таким образом, определяя k как 2π/λ. Поэтому, следует быть осторожным при сравнении аналогичных формул в различных учебниках. Второе отступление: 90° фазовый сдвиг для компоненты рассеянных волн в уравнении 3.13 может быть легко понят, если учесть следующее. Если амплитуда исходной волны ψ₀sin(2πkr), то после ее прохождения через образец, амплитуда будет ψ_SC. После акта рассеяния фаза волны увеличится на ϕ, так что мы можем выразить новую ψ_tot как

(3.14)

Теперь, если ϕ мало, то cosϕ≈1 и sinϕ≈ϕ; cosθ тождественно равно sin(θ+π/2), тогда получаем:

(3.15)

π/2 могло возникнуть, если бы мы использовали экспоненту, а не синус, для выражения фазы, так что теперь мы можем написать уравнение 3.15, как:

(3.16)

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение 3.12.