6.6.2 Практическое разрешение вследствие сферической аберрации

Если предположить, что мы исправили астигматизм и исследуемый образец достаточно тонкий для того, чтобы пренебречь хроматическими аберрациями. В этих условиях, сферическая аберрация (r_sph) будет ограничивать разрешение. Как следует из уравнения 6.15, r_sph увеличивается как β³, что является очень сильной зависимостью. Разрешение в объекте, получается некоторой комбинацией Критерий Рэлея и ошибки, обусловленной аберрациями.

Рисунок 6.14 (A) Профили интенсивности Эйри-дисков от двух четко разделенных точечных источников P₁ и P₂; (B) два Эйри-диска расположены так близко, что они не могут быть разделены; (C) два Эйри-диска расположены таким образом, что максимум изображения P₁ перекрывает минимум в P₂. Это последнее положение является определением разрешение - критерием Рэлея и является наилучшим (дифракционным) разрешением получаемым в оптической системе без аберраций.

Мы начнем со сложения квадратов радиусов диска Рэлея и диска сферической аберрации (в гауссовой плоскости):

(6.19)

так как оба эти выражения для радиусов являются приближенными, то:

(6.20)

Так как эти два условия меняются по-разному с изменением апертурного угла β, минимальное значение можно найти продифиринцировав r(β) по β и приравняв к нулю получивщееся выражение. Получаем:

(6.21)

Таким образом, мы получили оптимальное выражение для β, которое обычно приводят в виде:

(6.22)

Точное численное значение коэффициента зависит от предположений сделаных для различных членов входящих в определение разрешения и его часто записывают как А. Иногда это оптимальное значение определяют простым приравниванием уравнений для r_th и r_sph вместо того, суммирования их квадратов. Быстрый расчет для 100-кэВ электронов (λ = 0,0037 нм) для микроскопа с C_s = 3 мм дает значение β_opt 4,5 мрад.

Если это выражение для β_opt из уравнения 6.22 подставить в уравнение 6.20 мы получим минимальное значение r(β):

(6.23)

Это выражение дает практическое решение ПЭМ.

Числовой множитель в уравнении 6.23 часто пишется как B. Как правило, значение r_min равно 0.25-0.3 нм и лучшие высокоразрешающие микроскопы имеют r_min около 0.1 0.15 нм; 1 Å наилучшее доступное в настоящий момент разоешения для ПЭМ без C_s коррекции и около 0.07 нм наилучшее разрешение с C_s коррекцией. Так что, как было показано на рисунке 1.2, мы можем разрешить колонки атомов, которые в большинстве кристаллических материалах имеют расстояние близкое к r_min.

Стоит отметить, что, поскольку наши глаза могут решить расстояние около 0.2 мм, то максимальное полезное увеличение на лучших высокоразрешающих ПЭМ составляет около 3*10⁶. Выше этого увеличения никаких новых подробностей изображения не будет появляться.