2.9 Дифракция света на щелях и отверстиях

В данной теме мы рассмотрим тему известную как физическая или геометрическая оптика по отношению к дифракции. Многое, из того, что мы знаем о дифракции электронных волн, было перенесено из дифракции видимого света и рентгеновских лучей.
Дифракция на двух щелях (эксперимент Юнга с двумя щелями). Начнем с дифракции, получаемой при падении волнового фронта на пару очень узких щелей. Затем мы выберем только два из Гюйгенсовских волны, эти волны должны иметь одинаковую фазу в щели. Так как они распространяются после прохождения щели, их фазы отличаются в зависимости от положения детектора. Важным термином является разность хода L = d•sinθ, как показано на рисунке 2.5. Две волны, распространяющиеся в направлении r имеют разность хода L и разность фаз 2πL/λ, т. е. 2πd sinθ/λ. Если d и λ таковы, что эта разность фаз кратна 2π (так, что d sinθ/λ целое число, n), то лучи остаются в фазе, и их амплитуды складываются. Условием для сложения при интерференции, таким образом, является d sinθ=nλ. Таким образом, существует обратная зависимость между d и θ для данного d; при уменьшении d, sinθ увеличивается. Если мы представляем каждую вторичную волну имеющей амплитуду и фазу, мы можем представить ее в виде вектора на комплексной плоскости. Когда векторы параллельны друг другу (в фазе), они складываются, когда они антипараллельны, они вычитаются. Векторная диаграмма представляет собой способ построить амплитуду и фазу общей рассеянной волны; другими словами, когда мы складываем амплитуды лучей, мы должны принимать во внимание их фазы.
Множество щелей (дифракционная решетка). Если распространять этот анализ более чем на две щели, мы получим аналогичный результат, но с добавлением вспомогательных вершин. Происхождение вспомогательных вершин лучше всего можно проиллюстрировать на примере ряда векторных диаграмм (данные диаграммы будут полезны, при обсуждении ПЭМ-изображения).


Рисунок 2.5. Падающая плоская волна, рассеянная на двух щелях, расположенных на расстоянии d друг от друга. Рассеянные волны находятся в фазе, когда разность хода d•sinθ равна nλ.

Мы рассмотрим случай из пяти щелей. Каждый из многогранников на рисунке 2.6 представляет различные значения θ. Когда θ равен нулю, пять лучей находятся в фазе, и мы просто складываем их амплитуды (векторы параллельны); при увеличении θ, фазы лучей начинают различаться, однако при слоении векторов все еще получается большой результирующий вектор, но можно найти такой угол θ, что результирующий вектор будет равен нулю. Например, когда θ= 72ᵒ (360ᵒ/5, т.к. 5 щелей) векторная диаграмма представляет собой замкнутый пятиугольник (как показано на рисунке) и, как следствие амплитуда равна нулю. Этот процесс повторяется при θ=144ᵒ (2х360ᵒ/5) и 216ᵒ (3х360ᵒ/5). В промежутке между этими значениями при 108ᵒ (1.5х360ᵒ/5) мы получаем локальный максимум амплитуды, который повторяется при 180ᵒ (2.5х360ᵒ/5). Если мы нарисуем амплитуду, как функцию от θ, мы получим кривую с рядом локальных максимумов, как показано на рисунке 2.6. Из этого рисунка видно, что амплитуда сильно зависит от θ, а интенсивность электронов (то, что мы видим на изображении и дифракционной картине) пропорциональна квадрату амплитуды (поэтому отрицательные амплитуды при возведении в квадрат дают положительное значение интенсивности) и интенсивность рассеянных электронов, поэтому, так же сильно зависит от θ.

Рисунок 2.6 Векторная диаграмма показывает, как полная амплитуда, полученная путем суммирования пяти волн, дифрагированных на пяти щелях, изменяется в зависимости от фазового угла θ между различными волнами. Отдельные вектора от каждой из пяти щелей суммируются, получая полную амплитуду равную нулю при θ = 72ᵒ, 144ᵒ, 216ᵒ, и 288ᵒ, большую положительную амплитуду при θ = 0ᵒ и 360ᵒ, одиночный вектор с отрицательной амплитудой при θ = 108ᵒ и 252ᵒ, и одиночный вектор с положительной амплитудой при θ = 180ᵒ. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, так что положительные и отрицательные значения также дают вклад в интенсивность дифрагированной волны.


Дифракция на одной широкой щели. Что произойдет, если щель будет иметь некоторую ширины, как показано на рисунке 2.7. Теперь лучи в этой щели будут интерферировать друг с другом. Мы можем представить одну единую щель, как множество соседних щелей шириной δw. Представьте себе, разделив одну щель на 11 щелей шириной δw /11. Это одна щель затем производит векторную диаграмму, как показано на рисунке 2.8, если мы сделаем δw еще меньше, векторная диаграмма становится гладкой: вместо диаграммы, получаемой на рисунке 2.8, мы получаем рисунок 2.9 (для нескольких различных значений θ). Если не делать полный анализ вы обнаружите, что амплитуды от одной щели изменяется A=A0ϕ-1sinϕ, где ϕ – фаза πw sinθ/λ для щели шириной w. Для одной щели, мы бы получили ноль на векторной диаграмме ϕ=±nπ. Если мы построим интенсивности (а не амплитуду), мы получим кривую Айри, как показано на рисунке 2.10.

Рисунок 2.7 Геометрия рассеяния от отдельной щели.
Рисунок 2.8. Как вектора от отдельных щелей могут быть сложены для того, чтобы получить итоговый вектор для щели, как показано на рис 2.7.

Рисунок 2.9. Показано, как от одной щели может получаться луч, имеющий нулевую амплитуду при определенных значениях y, на рисунке 2.7. Круги можно сравнивать с многогранниками на рисунке 2.6.
Рисунок 2.10. Кривая результирующей интенсивности при рассеянии на одной щели, как показано на рисунке 2.7, эта кривая известна как дифракция Фраунгофера от одной щели; w ширина щели.

Рассеяние на круглом отверстии Теперь, мы можем заменить щель шириной w, на круглое отверстие или апертуру диаметром D. Результирующая ширина пика на кривой зависимости амплитуды от угла θ, будет иметь максимум при 1,22λ/D как показано на рисунке 2.11, которая представляет собой 3D представление Рисунока 2.10 (но третье измерение это I, а не I/I0). Из-за круговой симметрии апертуры, расчет необходимых для получения числа 1,22 включает в себя использование функции Бесселя, которые можно найти в текстах по физической оптике.
При уменьшении диаметра отверстия D, минимальное разрешаемое расстояние r, увеличивается (т.е. разрешающая способность ухудшается). Уравнение для вычисления диаметра диска Эйри также показывает, что при уменьшении длины волны λ, r уменьшается (так уменьшить λ можно за счет увеличения ускоряющего напряжения ПЭМ, и тем самым увеличить разрешение).