3.10.2 Уравнение дифракции
В данном разделе будет введены математические соотношения, описывающие процесс дифракции. Идея использования дифракции для исследования атомной структуры материалов приписывается Лауэ (1913 Германия), хотя другие исследователи, такие как Эвальд, работали над аналогичными идеями в то же время. Важной идеей Лауэ, было то, что электромагнитное излучение имею намного более короткую длину волны, чем свет могло являться причиной дифракционных или интерференционных явлений в кристаллах. Хотя его коллега Зоммерфельд, с которыми он обсуждал эту идею, катаясь на лыжах, не был согласен с ним, Фридрих, один из помощников Зоммерфельда, и Книппинг проверили эту идею экспериментально, облучая кристалл сульфата меди, и стали первыми, кто наблюдал дифракцию от кристаллических плоскостей.
Лауэ использовал известный в световой оптике подход, утверждая, что дифрагированные волны находятся в фазе, если разность хода волн, рассеянных соседними центрами рассеяния, рано целому числу длин волн, hλ (h целое число). Таким образом, как показано на рисунке 3.8, если рассеивающие центры (B и C) расположены на некотором расстоянии а друг от друга и падающий луч (длина волны λ) составляет угол θ1 с линией, соединяющей центры рассеяния, и дифрагирует под углом θ2, то разность хода AB – CD равна:
(3.18)Для трех измерений, еще два уравнения Лауэ можно записать для двух расстояний b и c,и соответствующие углы θn:
(3.19)
(3.20)Эти три уравнений носят название уравнений Лауэ, за его первоначальное предложение и анализ экспериментов Зоммерфельда, он получил Нобелевскую премию по физике в 1914. В ПЭМ образцах, когда все три уравнения Лауэ выполняются одновременно, мы получаем дифрагированный пучок. Литеры hklявляются индексами дифрагированного пучка и эквивалентны индексам Миллера (hkl) дифрагирующего на кристаллической плоскости (или нескольких плоскостях).
Подход Лауэ был упрощен семейной командой Бреггов (сын и отец) из Англии, которые предложили (Брэгг 1913), что волны ведут себя подобным образом, как будто они отражаются от атомных плоскостей, как показано на рисунке 3.9.
Параллельно с оптическим подходом фон Лауэ, Брегги утверждали, что волны, отраженные от соседних центров рассеяния должны иметь разность хода равной целому числу длин волн, если они хотят оставаться в фазе. Так, в ПЭМ разница хода между электронными волнами, отраженными от верхней и нижней плоскостей на рисунке 3.9, является (AB + BC).
Таким образом, если «отражение» происходит на плоскостях (hkl) расположенных на расстоянии d друг от друга и если волны падают и отражаются под углом θB, пути АВ и ВС равны dsinθB и общая разность хода равна 2d sinθB. Так что можно записать известное как закон Брэгга выражение:
Угол θB называется углом Брэгга, который является наиболее важным углом рассеяния (полу-угол) в ПЭМ. Брегги также получили Нобелевскую премию по физике через год после Лауэ, но на этот раз только за одно уравнение, и несмотря на то, что идея отраженных электронов, математически была правильна, физически была неверна.
Можно увидеть из уравнения Брэгга, что атомные плоскости, расположенные ближе друг к другу приводит к большим углам рассеивания. Эта обратная зависимость (d пропорциональна 1/θ) является очень важной в интерпретации дифракционной картины.
